CÁLCULO DA REAÇÃO DE APOIO NAS VIGAS DE BORDO EM LAJES MACIÇAS RETANGULARES A PARTIR DA UTILIZAÇÃO DE QUADROS (TABELAS)

A principal função das vigas em projetos de estruturas usuais é o recebimento das cargas dos pavimentos (lajes), transferindo-as para os pilares de apoio. Por ser o principal carregamento em grande parte das vigas do pavimento, é importante conhecer a parcela das cargas que são transferidas das lajes para as vigas de bordo (apoio).

Dando continuidade ao post anterior, onde exemplificamos a DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS EM LAJES MACIÇAS RETANGULARES A PARTIR DA UTILIZAÇÃO DE QUADROS (TABELAS DE BARES), utilizaremos as tabelas desenvolvidas por PINHEIRO (1994), de acordo com a NBR 6118, para a determinação das reações das lajes maciças retangulares nas vigas de bordo (apoio) em 3 exemplos de cálculo.

EXEMPLO 1

Calcule as reações da laje retangular (imagem abaixo) nas vigas de apoio. Considere os seguintes carregamentos atuantes:

Peso próprio: $P_{p} = 300 kg/m^{2}$
Carga de revestimento (permanente): $g = 150 kg/m^{2}$
Carga de utilização (variávvel): $q = 200 kg/m^{2}$

desenho ilustra a laje de exemplo que será utilizada no cálculo — Laje de exemplo

1º PASSO: Cálculo de $\lambda$

Antes de determinar o valor de $\lambda$ , precisamos definir qual dimensão da laje representa $l_{x}$ e qual representa $l_{y}$ .

Por definição, $l_{x}$ será sempre a menor das dimensões a laje, portanto, $l_{x} = 300 cm$ .
$l_{y} = 450 cm$ .
Note que os valores possíveis na tabela para $\lambda$ são sempre maiores que 1.

Portanto:

$\lambda = \frac{l_{y}}{l_{x}} = \frac{450}{300} = 1,5$

2º PASSO: Cálculo do carregamento total atuante

Temos que o carregamento total atuante na laje é:

$P = P_{p} + g + q = 300 + 150 + 200 = 650 kg/m^{2}$

Ou: $P \cong 6,5 kN/m^{2}$

3º PASSO: Obter os valores dos coeficientes em tabela

A partir do valor de $\lambda$ e das condições da vinculação da laje, podemos utilizar as tabelas para obter os coeficientes que serão utilizados para o cálculo das reações da laje nas vigas de bordo Observe que a laje presente no exemplo 1 possui as mesmas condições de vinculação do Caso 2B, conforme tabela abaixo.

tabela mostra os coeficientes para calcular as reações de apoio as lajes maciças — Tabela: coeficientes

Temos para a laje do EXEMPLO 1 os coeficientes:

$\lambda = 1,5$
$\nu_{x} = 3,27$
$\nu^{'}_{x} = 4,79$
$\nu_{y} = 1,83$

4º PASSO: Cálculo das reações das lajes nas vigas

O cálculo das reações das lajes nas vigas de bordo (apoio) é realizado pela equação:

$V = \nu \cdot \frac{p\cdot l_{x}}{10}$

Portanto:

Reação na viga do bordo (apoio) 4:

$V_{x} = \nu_{x} \cdot \frac{p\cdot l_{x}}{10}$

$V_{x} = 3,27 \cdot \frac{6,5\cdot 3}{10} = 6,37 kN/m$

Reação na viga do bordo (apoio) 2:

$V^{'}_{x} = \nu^{'}_{x} \cdot \frac{p\cdot l_{x}}{10}$

$V^{'}_{x} = 4,79 \cdot \frac{6,5\cdot 3}{10} = 9,34 kN/m$

Reação nas vigas do bordo (apoio) 1 e 3:

$V_{y} = \nu_{y} \cdot \frac{p\cdot l_{x}}{10}$

$V_{x} =1,83 \cdot \frac{6,5\cdot 3}{10} = 3,57 kN/m$

imagem mostra as reações de apoio calculadas para cada bordo da laje maciça — Reações de apoio na laje maciça

5º PASSO: Verificação das cargas totais

Podemos verificar se os carregamentos transferidos às vigas representam, de fato, todo o carregamento da laje de maneira simples. Observe que o carregamento transferido às vigas é admitido linear, portanto, basta multiplicar pelo comprimento do bordo e somar os resultados obtidos.

Carregamento total na viga do bordo (apoio) 4:

$P_{4} = V_{x}\cdot l_{y}$

$P_{4} = 6,37\cdot 4,5 = 28,66 kN$

Carregamento total na viga do bordo (apoio) 2:

$P_{2} = V_^{'}{x}\cdot l_{y}$

$P_{2} =9,34\cdot 4,5 = 42,03 kN$

Carregamento total nas vigas do bordo (apoio) 1 e 3:

$P_{1} = P_{3} = V_{y}\cdot l_{x}$

$P_{1} = P_{3} = 3,57 \cdot 3 = 10,7 kN$

O carregamento total transferido às vigas de apoio é:

$P_{tot} = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4}$

$P_{tot} =10,7 + 42,03 + 10,7 + 28,66 = 92,10 kN$

Comparando com o carregamento total da laje, dado por:

$P_{laje} = P \cdot l_{x} \cdot l_{y}$

$P_{laje} = 6,5 \cdot 3 \cdot 4,5 = 87,75 kN$

Observe que o carregamento total obtido pela utilização dos quadros se apresentou ligeiramente superior (a favor da segurança) à carga total da laje:

$92,10 kN > 87,75 kN$

APLICAÇÃO DIRETA DO MÉTODO DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS

desenho mostra o método das charneiras plásticas — Método das charneiras plásticas

Para realizar uma comparação dos resultados obtidos a partir da aplicação direta do método das charneiras plásticas, temos que:

A1 = 1,65 m² $\rightarrow P_{1} = 1,65m^{2} \cdot 6,5 kN/m^{2} = 10,725 kN$
$V_{x(1)} = \frac{10,725 kN}{3m} = 3,57 kN/m$
A2 = 6,47 m² $\rightarrow P_{1} = 6,47m^{2} \cdot 6,5 kN/m^{2} = 42,055 kN$
$V_{x(2)} = \frac{42,055 kN}{4,5m} = 9,34 kN/m$
A3 = 1,65 m² $\rightarrow P_{3} = 1,65m^{2} \cdot 6,5 kN/m^{2} = 10,725 kN$
$V_{x(3)} = \frac{10,725 kN}{3m} = 3,57 kN/m$
A4 = 3,73 m² $\rightarrow P_{1} = 3,73m^{2} \cdot 6,5 kN/m^{2} = 24,245 kN$
$V_{x(4)} = \frac{24,245 kN}{4,5m} = 5,39 kN/m$

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Note que, através da utilização da tabela desenvolvida por PINHEIRO (1994), a carga transferida para o bordo (apoio) 4 é superior ao valor obtido pela aplicação direta do método das charneiras plásticas:

$V_{x(4)} = 5,39 kN/m \rightarrow$ Método das Charneiras Plásticas
$V_{x(4)} = 6,37 kN/m \rightarrow$ Tabelas PINHEIRO (1994)

A explicação é simples: o método das charneiras plásticas considera “engastamento total” do bordo 2 em questão e, afim compensar as possíveis reduções do momento negativo pela compatibilização de esforços e/ou atuação de “engastamento parcial”, PINHEIRO (1994) propõe um acréscimo no carregamento do bordo (apoio) 4 (oposto ao bordo engastado).

Para outros típos de vínculos, utilizar as tabelas abaixo:

EXEMPLO 1

APLICAÇÃO DIRETA DO MÉTODO DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

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