RECALQUE ELÁSTICO: FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS EM MEIOS ESTRATIFICADOS

Apresentamos em postagens anteriores os métodos de cálculo do acréscimo de tensões no solo provocado por fundações superficiais, seções quadradas / retangulares e seções circulares, considerando o perfil geotécnico homogêneo:

No entanto, a realidade é que o perfil geotécnico onde se assentam as fundações pode apresentar camadas de solo com diferentes propriedades e devemos considerar esse fato no cálculo do recalque.

Para considerar as diferentes camadas de solo, utilizaremos o artifício proposto por Steinbrenner, que será discutido durante o exemplo numérico.

Cálculo do recalque elástico em sapatas circulares:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}D\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}$

Sendo:
$q_{s}$ = tensão atuante no solo
$D$ = diâmetro da sapata
$\nu$ = coeficiente de poisson do solo
$E$ = módulo de elasticidade do solo

Cálculo do recalque elástico em sapatas retangulares:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s}$

Sendo:
$q_{s}$ = tensão atuante no solo
$B$ = largura da sapata
$\nu$ = coeficiente de poisson do solo
$E$ = módulo de elasticidade do solo
$I_{s}$ = coeficiente de forma da sapata

Segundo Giroud:

$I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}$

onde:

$\xi_{s} = A / B$

EXEMPLO

Vamos demonstrar o processo de cálculo do recalque elástico em fundações superficiais e utilizar o artifício de Steinbrenner para considerar a condição de solo estratificado. Considerar as informações abaixo:

Adotar os seguintes valores de cálculo:
Carga Nd – tf = 67,5 tf
A = 200 cm
B = 135 cm

Camada 1 (A – B) – 200 cm
$E = 20 MPa$
$\nu = 0,5$

Camada 2 (B – C) – 150 cm
$E = 14 MPa$
$\nu = 0,4$

Camada 3 (C – D) – 100 cm
$E = 16 MPa$
$\nu = 0,4$

1º Passo: calcular a tensão atuante na interface fundação-solo

$\sigma_{s} = q_{s} = \frac{F}{A} = \frac{67.500}{135\times 200} = 2,5 kg/cm^{2}$
2º Passo: calcular a tensão atuante nos pontos B, C e D (limite das camadas)
- Tensão em B
  
  Calculando os valores de m e n, temos:
  
  $m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{200} = 0,3375$
  
  $n = \frac{A}{z} = \frac{100}{200} = 0,5$
  
  Calculando o valor de $I_{z}$ :
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,3375 \times 0,5 \times \sqrt{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 1}}{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 0,3375^{2} \times 0,5^{2} + 1} \left ( \frac{0,3375^{2} + 0,5^{2}+2}{0,3375^{2} + 0,5^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,3375\times 0,5 \times \sqrt{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 1}}{0,3375^{2} + 0,5^{2} - 0,3375^{2}\times 0,5^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,3941}{1,3923} \left ( \frac{2,3639}{1,3639} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,3941}{1,3354} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,2830 \times 1,7331 + tg^{-1} \left ( 0,2951 \right ) \right ]$
  
  $I_{z} \cong 0,06187$
  
  Portanto, a tensão atuante em B é:
  
  $\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )$
  
  $\Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,06187 \right ) \cong 0,6187 kg/cm^{2}$
- Tensão em C
  
  Calculando os valores de m e n, temos:
  
  $m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{350} = 0,1928$
  
  $n = \frac{A}{z} = \frac{100}{350} = 0,2857$
  
  Calculando o valor de $I_{z}$ :
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,1928 \times 0,2857 \times \sqrt{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 1}}{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 0,1928^{2} \times 0,2857^{2} + 1} \left ( \frac{0,1928^{2} + 0,2857^{2}+2}{0,1928^{2} + 0,2857^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,1928\times 0,2857 \times \sqrt{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 1}}{0,1928^{2} + 0,2857^{2} - 0,1928^{2}\times 0,2857^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,1165}{1,1218} \left ( \frac{2,1188}{1,1188} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,1165}{1,1157} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,1038 \times 1,8938 + tg^{-1} \left ( 0,1044 \right ) \right ]$
  
  $I_{z} \cong 0,02392$
  
  Portanto, a tensão atuante em B é:
  
  $\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )$
  
  $\Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,02392 \right ) \cong 0,2392 kg/cm^{2}$
- Tensão em D
  
  Calculando os valores de m e n, temos:
  
  $m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{450} = 0,15$
  
  $n = \frac{A}{z} = \frac{100}{450} = 0,2222$
  
  Calculando o valor de $I_{z}$ :
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,15 \times 0,2222 \times \sqrt{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 1}}{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 0,15^{2} \times 0,2222^{2} + 1} \left ( \frac{0,15^{2} + 0,2222^{2}+2}{0,15^{2} + 0,2222^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,15\times 0,2222 \times \sqrt{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 1}}{0,15^{2} + 0,2222^{2} - 0,15^{2}\times 0,2222^{2} + 1} \right ) \right ]$
  
  $I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,06895}{1,0729} \left ( \frac{2,0718}{1,0718} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,06895}{1,0707} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,0642 \times 1,9330 + tg^{-1} \left ( 0,0644 \right ) \right ]$
  
  $I_{z} \cong 0,015$
  
  Portanto, a tensão atuante em B é:
  
  $\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )$
  
  $\Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,015 \right ) \cong 0,15 kg/cm^{2}$
3º Passo: calcular o recalque elástico em cada camada (artifício de Steinbrenner)

Para calcular o recalque em solos estratificados, segundo Steinbrenner, devemos realizar o procedimento para cada camada:

$r = r' - r''$

Sendo:
r = recalque total da camada
r’ = recalque de uma massa semi-infinita ao nível de aplicação da carga
r” = idem onde existe o indeslocável

Recalque da camada 3:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s}$

$I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}$

Calculando o fator de influência:

$\xi_{s} = A / B = 200 / 135 \cong 1,4815$

$I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}$

$I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( 1,4815 + \sqrt{1 + 1,4815^{2}} \right ) + 1,4815 ln\frac{1 + \sqrt{1 + 1,4815^{2}}}{1,4815} \right\}$

$I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( 3,2689 \right ) + 1,4815 ln\left ( 1,8814 \right ) \right\} = \frac{2}{\pi }\left\{1,1844 + 0,9363 \right\}$

$I_{s} \cong 1,35$

O recalque no ponto D, da camada 3 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,15 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{160}\times 1,35 = 0,1435$

O recalque no ponto C, da camada 3 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,2392 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{160}\times 1,35 = 0,2288$

O recalque total da camada 3 é, portanto:

$r = r' - r'' = 0,2288 - 0,1435 \cong 0,0854 cm$

Recalque da camada 2:

O recalque no ponto C, da camada 2 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,2392 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{140}\times 1,35 = 0,2615$

O recalque no ponto B, da camada 2 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,6187 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{140}\times 1,35 = 0,6765$

O recalque total da camada 2 é, portanto:

$r = r' - r'' = 0,6765 - 0,2615 \cong 0,415 cm$

Recalque da camada 1:

O recalque no ponto B, da camada 1 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,6187 \times 135 \times \left ( 1 - 0,5 ^{2} \right )}{200}\times 1,35 = 0,4228$

O recalque no ponto A, da camada 1 é:

$\Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{2,5 \times 135 \times \left ( 1 - 0,5 ^{2} \right )}{200}\times 1,35 = 1,7086$

O recalque total da camada 1 é, portanto:

$r = r' - r'' = 1,7086 - 0,4228 \cong 1,2858 cm$

RECALQUE TOTAL
O recalque total calculado é:

$r = 1,2858 + 0,415 + 0,0854 = 1,7862 cm$

CONCLUSÃO

A previsão de recalque é um tema complexo e de grande importância dentro da engenharia de fundações, sendo extremamente necessária a análise quando na ocorrência de solos estratificados. Como sugestão, deixamos abaixo as referencias bibliográficas para o estudo mais aprofundado sobre a previsão de recalque em fundações superficiais.

RECALQUE ELÁSTICO: FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS EM MEIOS ESTRATIFICADOS

EXEMPLO

CONCLUSÃO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Previsão e Controle das Fundações

Mecânica dos Solos – Obras de Terra e Fundações

EXEMPLO

CONCLUSÃO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Previsão e Controle das Fundações

Mecânica dos Solos – Obras de Terra e Fundações

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