RECALQUE ELÁSTICO: FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS EM MEIOS ESTRATIFICADOS

Apresentamos em postagens anteriores os métodos de cálculo do acréscimo de tensões no solo provocado por fundações superficiais, seções quadradas / retangulares e seções circulares, considerando o perfil geotécnico homogêneo:

No entanto, a realidade é que o perfil geotécnico onde se assentam as fundações pode apresentar camadas de solo com diferentes propriedades e devemos considerar esse fato no cálculo do recalque.

Para considerar as diferentes camadas de solo, utilizaremos o artifício proposto por Steinbrenner, que será discutido durante o exemplo numérico.

  • Cálculo do recalque elástico em sapatas circulares:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}D\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}

Sendo:
 q_{s} = tensão atuante no solo
 D = diâmetro da sapata
 \nu = coeficiente de poisson do solo
 E = módulo de elasticidade do solo

  • Cálculo do recalque elástico em sapatas retangulares:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s}

Sendo:
 q_{s} = tensão atuante no solo
 B = largura da sapata
 \nu = coeficiente de poisson do solo
 E = módulo de elasticidade do solo
 I_{s} = coeficiente de forma da sapata

Segundo Giroud:

 I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}

onde:

 \xi_{s} = A / B

EXEMPLO

Vamos demonstrar o processo de cálculo do recalque elástico em fundações superficiais e utilizar o artifício de Steinbrenner para considerar a condição de solo estratificado. Considerar as informações abaixo:

Adotar os seguintes valores de cálculo:
Carga Nd – tf = 67,5 tf
A = 200 cm
B = 135 cm

Camada 1 (A – B) – 200 cm
 E = 20 MPa
 \nu = 0,5

Camada 2 (B – C) – 150 cm
 E = 14 MPa
 \nu = 0,4

Camada 3 (C – D) – 100 cm
 E = 16 MPa
 \nu = 0,4

  • 1º Passo: calcular a tensão atuante na interface fundação-solo

     \sigma_{s} = q_{s} = \frac{F}{A} = \frac{67.500}{135\times 200} = 2,5 kg/cm^{2}
  • 2º Passo: calcular a tensão atuante nos pontos B, C e D (limite das camadas)
    • Tensão em B

      Calculando os valores de m e n, temos:

       m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{200} = 0,3375

       n = \frac{A}{z} = \frac{100}{200} = 0,5

      Calculando o valor de  I_{z} :

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,3375 \times 0,5 \times \sqrt{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 1}}{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 0,3375^{2} \times 0,5^{2} + 1} \left ( \frac{0,3375^{2} + 0,5^{2}+2}{0,3375^{2} + 0,5^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,3375\times 0,5 \times \sqrt{0,3375^{2} + 0,5^{2} + 1}}{0,3375^{2} + 0,5^{2} - 0,3375^{2}\times 0,5^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,3941}{1,3923} \left ( \frac{2,3639}{1,3639} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,3941}{1,3354} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,2830 \times 1,7331 + tg^{-1} \left ( 0,2951 \right ) \right ]

       I_{z} \cong 0,06187

      Portanto, a tensão atuante em B é:

       \Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )

       \Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,06187 \right ) \cong 0,6187 kg/cm^{2}
    • Tensão em C

      Calculando os valores de m e n, temos:

       m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{350} = 0,1928

       n = \frac{A}{z} = \frac{100}{350} = 0,2857

      Calculando o valor de  I_{z} :

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,1928 \times 0,2857 \times \sqrt{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 1}}{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 0,1928^{2} \times 0,2857^{2} + 1} \left ( \frac{0,1928^{2} + 0,2857^{2}+2}{0,1928^{2} + 0,2857^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,1928\times 0,2857 \times \sqrt{0,1928^{2} + 0,2857^{2} + 1}}{0,1928^{2} + 0,2857^{2} - 0,1928^{2}\times 0,2857^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,1165}{1,1218} \left ( \frac{2,1188}{1,1188} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,1165}{1,1157} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,1038 \times 1,8938 + tg^{-1} \left ( 0,1044 \right ) \right ]

       I_{z} \cong 0,02392

      Portanto, a tensão atuante em B é:

       \Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )

       \Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,02392 \right ) \cong 0,2392 kg/cm^{2}
    • Tensão em D

      Calculando os valores de m e n, temos:

       m = \frac{B}{z} = \frac{67,5}{450} = 0,15

       n = \frac{A}{z} = \frac{100}{450} = 0,2222

      Calculando o valor de  I_{z} :

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2\times 0,15 \times 0,2222 \times \sqrt{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 1}}{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 0,15^{2} \times 0,2222^{2} + 1} \left ( \frac{0,15^{2} + 0,2222^{2}+2}{0,15^{2} + 0,2222^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2 \times 0,15\times 0,2222 \times \sqrt{0,15^{2} + 0,2222^{2} + 1}}{0,15^{2} + 0,2222^{2} - 0,15^{2}\times 0,2222^{2} + 1} \right ) \right ]

       I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{0,06895}{1,0729} \left ( \frac{2,0718}{1,0718} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{0,06895}{1,0707} \right ) \right ] = \frac{1}{4\pi } \left [ 0,0642 \times 1,9330 + tg^{-1} \left ( 0,0644 \right ) \right ]

       I_{z} \cong 0,015

      Portanto, a tensão atuante em B é:

       \Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )

       \Delta \sigma_{z} = 2,5 \times \left ( 4 \times 0,015 \right ) \cong 0,15 kg/cm^{2}
  • 3º Passo: calcular o recalque elástico em cada camada (artifício de Steinbrenner)

    Para calcular o recalque em solos estratificados, segundo Steinbrenner, devemos realizar o procedimento para cada camada:

     r = r' - r''

    Sendo:
    r = recalque total da camada
    r’ = recalque de uma massa semi-infinita ao nível de aplicação da carga
    r” = idem onde existe o indeslocável

Recalque da camada 3:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s}

 I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}

Calculando o fator de influência:

 \xi_{s} = A / B = 200 / 135 \cong 1,4815

 I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( \xi_{s} + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}} \right ) + \xi_{s } ln\frac{1 + \sqrt{1 + \xi_{s}^{2}}}{\xi_{s}} \right\}

 I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( 1,4815 + \sqrt{1 + 1,4815^{2}} \right ) + 1,4815 ln\frac{1 + \sqrt{1 + 1,4815^{2}}}{1,4815} \right\}

 I_{s} = \frac{2}{\pi }\left\{ln\left ( 3,2689 \right ) + 1,4815 ln\left ( 1,8814 \right ) \right\} = \frac{2}{\pi }\left\{1,1844 + 0,9363 \right\}

 I_{s} \cong 1,35

O recalque no ponto D, da camada 3 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,15 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{160}\times 1,35 = 0,1435

O recalque no ponto C, da camada 3 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,2392 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{160}\times 1,35 = 0,2288

O recalque total da camada 3 é, portanto:

 r = r' - r'' = 0,2288 - 0,1435 \cong 0,0854 cm

Recalque da camada 2:

O recalque no ponto C, da camada 2 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,2392 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{140}\times 1,35 = 0,2615

O recalque no ponto B, da camada 2 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,6187 \times 135 \times \left ( 1 - 0,4 ^{2} \right )}{140}\times 1,35 = 0,6765

O recalque total da camada 2 é, portanto:

 r = r' - r'' = 0,6765 - 0,2615 \cong 0,415 cm

Recalque da camada 1:

O recalque no ponto B, da camada 1 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{0,6187 \times 135 \times \left ( 1 - 0,5 ^{2} \right )}{200}\times 1,35 = 0,4228

O recalque no ponto A, da camada 1 é:

 \Delta _{Z} = \frac{q_{s}B\left ( 1 - \nu ^{2} \right )}{E}I_{s} = \frac{2,5 \times 135 \times \left ( 1 - 0,5 ^{2} \right )}{200}\times 1,35 = 1,7086

O recalque total da camada 1 é, portanto:

 r = r' - r'' = 1,7086 - 0,4228 \cong 1,2858 cm

RECALQUE TOTAL
O recalque total calculado é:

 r = 1,2858 + 0,415 + 0,0854 = 1,7862 cm

CONCLUSÃO

A previsão de recalque é um tema complexo e de grande importância dentro da engenharia de fundações, sendo extremamente necessária a análise quando na ocorrência de solos estratificados. Como sugestão, deixamos abaixo as referencias bibliográficas para o estudo mais aprofundado sobre a previsão de recalque em fundações superficiais.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Previsão e Controle das Fundações

Mecânica dos Solos – Obras de Terra e Fundações

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