ISOSTÁTICA: EXERCÍCIO 5.3 -

Neste exercício, apresentado como EXEMPLO 5.3 no livro de ANÁLISE ESTRUTURAL do autor Aslam Kassimali, vamos analisar a viga isostática abaixo e traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante.

Utilizaremos o método das seções para definir as equações que determinam os esforços em cada segmento da viga.

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

1º PASSO: VERIFICAR GRAU HIPERESTÁTICO

Para que sejam determinadas as reações de apoio, devemos verificar o grau hiperestático da estrutura em questão. Sendo:

$r = 3 \rightarrow$ número de reações de apoio (HA, VA e VB)

$e = 3 \rightarrow$ número de equações de equilíbrio

$\sum F_{h} = 0$

$\sum F_{v} = 0$

$\sum M = 0$

Temos, portanto, que o número de incógnitas (reações de apoio) é igual ao número de reações de equilíbrio. A estrutura é ESTATICAMENTE DETERMINADA EXTERNAMENTE.
$i_{e} = r - e = 3 - 3 = 0 \rightarrow$ grau hiperestático

Além disso, podemos perceber que a estrutura é ESTATICAMENTE ESTÁVEL EXTERNAMENTE pois os apoios promovem reações capazes de dar estabilidade à estrutura.

2º PASSO: DETERMINAR AS REAÇÕES DE APOIO

Utilizaremos as três equações de equilíbrio para determinar as reações nos apoios:

$\sum F_{h} = 0$

$HA = 0$

Não há cargas horizontais, portanto, a reação horizontal no apoio é igual a zero.

$\sum F_{v} = 0$

$VA + VB -265 - (30\times 6) = 0$

$VA + VB -265 - 180 = 0$

$VA + VB = 445 kN$

Para definir os valores respectivos de VA e VB, utilizaremos a 3ª equação de equilíbrio:

$\circlearrowleft^{+} \sum M _{A} = 0 \rightarrow$ Momento no ponto A

$-(265\times 3) + 245 -9\times (30\times 6) + VB\times 9 = 0$

$VB = \frac{795- 245 + 1620}{9}$

$VB \cong 241,11 kN$

Sendo:
$VA + VB = 445 kN$

Portanto:

$VA + 241,11 = 445$

$VA \cong 203,89 kN$

3º PASSO: DETERMINAR OS ESFORÇOS SOLICITANTES

Para determinar os esforços solicitantes (cortante e momento) ao longo da viga, devemos analisar cada segmento separadamente. Os trechos são definidos sempre que há mudanças no carregamento e reações de apoio.

SEÇÃO S1 (A – B): $0 \leq x \leq 3$

$V_{S1} = + VA \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S1} = + VA \times x \rightarrow$ Eq. momento fletor

Note que o esforço cortante se mantém constante ao logo do trecho A-B pois a única carga vertical à esquerda da seção S1 é a reação de apoio em A.

$V_{S1} = + 203,89 kN$

O momento fletor, no entanto, varia de acordo com a distância da seção S1 analisada. Portanto, para os esforços à esquerda da seção S1:

$M_{S1} = + VA \times x \begin{cases}203,89 \times 0 = 0 & \text{ se } x= 0 \\203,89 \times 3 = 611,67 kN.m & \text{ se } x= 3\end{cases}$

SEÇÃO S2 (B – C): $3 \leq x \leq 6$

$V_{S2} = + VA - 265 \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S2} = + VA \times x - 265\times (x-3) \rightarrow$ Eq. momento fletor

Exatamente no ponto B, a cortante sofre alteração por conta da carga concentrada e se mantém constante.

$V_{S2} = 203,89 - 265 = -61,11 kN$

A força concentrada de 265 kN causa momento fletor na seção S2, mas devemos estar atentos à distância entre essa força e a seção em análise: (x-3)

$M_{S2} = + VA \times x - 265\times (x-3)\begin{cases}203,89 \times 3 - 265\times (3-3) = 611,67 kN.m & \text{ se } x= 3 \\203,89 \times 6 - 265\times (6-3) = 428,34kN.m & \text{ se } x= 6\end{cases}$

SEÇÃO S3 (C – D): $6 \leq x \leq 9$

$V_{S3} = + VA - 265 - 30 \times (x-6) \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S3} = + VA \times x - 265\times (x-3) - 245 - 30 \times (x - 6) \times\frac{x - 6}{2} \rightarrow$ Eq. momento fletor

Conforme a seção S3 avança, de C para D, o esforço cortante recebe a adição contínua de carga (carga distribuída). Dessa forma, a variação de carga entre C e D será linear.

$V_{S3} = + VA - 265 - 30 \times (x-6)\begin{cases}203,89 - 265 - 30 \times (6-6) = -61,11 kN & \text{ se } x= 6 \\203,89 - 265 - 30 \times (9-6) = -151,11 kN & \text{ se } x= 9\end{cases}$

Exatamente no ponto C atua um momento fletor pontual com valor de -245 kN (negativo, sentido anti-horário), gerando uma descontinuidade no gráfico conforme veremos mais adiante. Devemos estar atento ao fato de existir um carregamento uniformemente distribuído, com carga equivalente de $30 \times (x - 6)$ e distância de atuação na seção S3 igual a $\frac{x - 6}{2}$ .

$M_{S3} = + VA \times x - 265\times (x-3) - 245 - 30 \times (x - 6) \times\frac{x - 6}{2}\begin{cases}203,89 \times 6 - 265\times (6-3) - 245 - 30 \times (6 - 6) \times\frac{6 - 6}{2} = 183,34 kN.m & \text{ se } x= 6\\203,89 \times 9 - 265\times (9-3) - 245 - 30 \times (9 - 6) \times\frac{9 - 6}{2} \cong 135 kN.m & \text{ se } x= 9\end{cases}$

SEÇÃO S4 (D – E): $9 \leq x \leq 12$

$V_{S4} = + VA - 265 - 30 \times (x-6) + VB \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S4} = + VA \times x - 265\times (x-3) - 245 - 30 \times (x - 6) \times\frac{x - 6}{2} + VA \times (x-9) \rightarrow$ Eq. momento fletor

No ponto D, onde há um apoio e reação vertical igual a 241,11 kN, há uma descontinuidade no valor do esforço cortante:

$V_{S4} = + VA - 265 - 30 \times (x-6) + VA \begin{cases}203,89 - 265 - 30 \times (9-6) + 241,11 = 90 kN &\text{ se } x= 9 \\203,89 - 265 - 30 \times (12-6) + 241,11 = 0 & \text{ se } x= 12\end{cases}$

A reação de apoio em D, com valor de 241,11 kN, causa momento fletor na seção S4. Devemos estar atentos à distância entre essa força e a seção em análise: (x-9)

$M_{S4} = \begin{cases}203,89 \times 9 - 265\times (9-3) - 245 - 30 \times (9 - 6) \times\frac{9 - 6}{2} +241,11 \times (9-9) \cong 135 kN.m & \text{ se } x= 9\\203,89 \times 12 - 265\times (12-3) - 245 - 30 \times(12 - 6) \times\frac{12 - 6}{2} + 241,11 \times (12-9) = 0 & \text{ se } x= 12\end{cases}$

4º PASSO: DESENHAR OS GRÁFICOS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

ESFORÇO CORTANTE:

Para traçar o diagrama de esforço cortante basta ligar os pontos com os valores calculados anteriormente, devendo estar atento às descontinuidades provocadas por cargas pontuais e a forma como a carga distribuída se apresenta no gráfico.

Note que a expressão que determina o esforço cortante em qualquer seção do trecho C-D é uma equação de 1º grau, portanto, o trecho será formado por uma reta inclinada.

$V_{S3} = + VA - 265 - 30 \times (x-6) \rightarrow$ Eq. cortante

MOMENTO FLETOR:

Como já calculamos os valores do momento fletor atuante em diferentes seções da viga, basta ligar os pontos. A atenção se faz necessária no ponto onde existe a atuação de um momento fletor pontual.

Nos trechos onde existe a atuação de carga uniformemente distribuída (C-D e D-E), o gráfico apresenta forma de parábola. Note que a expressão que determina o momento fletor atuante em qualquer seção do trecho C-D, por exemplo, é uma equação de 2º grau:

$M_{S3} = + VA \times x - 265\times (x-3) - 245 - 30 \times (x - 6) \times\frac{x - 6}{2} \rightarrow$ Eq. momento fletor

Podemos calcular a profundidade do vértice da seguinte forma:

$y = \frac{q\times l^{2}}{8} = \frac{30\times 3^{2}}{8} = 33.75$