Dimensionamento de Sapata: Método de Terzaghi

Desenvolvido pelo renomado engenheiro Karl Terzaghi, considerado o “pai da Mecânica dos Solos”, esse método teórico oferece uma abordagem prática e confiável para calcular a capacidade de carga de fundações superficiais (sapata). Baseando-se em dois parâmetros fundamentais do solo – o ângulo de atrito interno e a coesão –, o método de Terzaghi permite estimar com precisão a resistência do solo submetido ao carregamento de uma fundação superficial (sapata).

Sapata (fundação superficial): superfície de ruptura

O método desenvolvido por Karl Terzaghi baseia-se na premissa de que a resistência do solo ao carregamento de uma fundação depende de três componentes principais:

Resistência devido à coesão do solo;
Resistência devido à fricção interna do solo (associada ao ângulo de atrito interno);
Resistência devido ao peso próprio do solo acima da fundação.

$Q_{ult} = \underbrace{S_{c} \cdot C \cdot N_{c}}_{COES\tilde{A}O} +\underbrace{S_{\gamma }\cdot \gamma \cdot \frac{B}{2}\cdot N_{\gamma }}_{ATRITO} + \underbrace{S_{q}\cdot \gamma \cdot h\cdot N_{q}}_{SOBRECARGA}$

Onde:

$Q_{ult} =$ Resistência Última do Solo

$\left.\begin{matrix} S_{c} \\ S_{\gamma }\\ S_{q}\\ \end{matrix}\right\}$ Coeficientes de Forma

$\left.\begin{matrix} N_{c} \\ N_{\gamma }\\ N_{q}\\ \end{matrix}\right\}$ Fatores de Capacidade de Carga (obtidos a partir do ângulo de atrito do solo)

$C =$ Coesão do Solo

$\gamma =$ Peso Específico do Solo

$B =$ Largura da Fundação (Sapata)

$h =$ Altura de Embutimento da Fundação (profundidade)

MÉTODO DE TERZAGHI: EXEMPLO DE CÁLCULO

Para ilustrar a aplicação do Método de Terzaghi no dimensionamento de fundações superficiais (sapata), apresentaremos a resolução de um exemplo prático.

Dimensionamento de Sapatas: Método de Terzaghi

Considere as seguintes informações:

Solo arenoso, compacto
Coesão do solo: C = 4 kPa
Ângulo de atrito do solo: Φ = 37°
Profundidade de assentamento da fundação (embutimento): h = 1,5 m
Peso específico do solo: γ = 1,8 tf/m³
Largura da sapata: B = 1,0 m (sapata retangular)

1º PASSO: Modo de ruptura do solo

Com base na descrição do solo como arenoso compacto, pode-se deduzir que a densidade relativa está no intervalo de 70% a 85% (70% < Dr < 85%). Assim, espera-se que o tipo de ruptura seja generalizada.

DENSIDADE RELATIVA DO SOLO: TIPOS DE RUPTURA

TIPOS DE RUPTURA DO SOLO: FUNDAÇÃO SUPERFICIAL

Tudo o que foi apresentado até o momento sobre a teoria de Terzaghi se refere à ruptura generalizada. No caso de se considerar a ruptura local, os parâmetros do solo a serem adotados devem ser:

$tg\phi^{\ast } = \frac{2}{3}tg\phi$

$C^{\ast } = \frac{2}{3}C$

2º PASSO: Coeficientes de forma da sapata

O método proposto por Terzaghi foi originalmente desenvolvido para sapatas corridas, tendo sido posteriormente ajustado com a introdução de coeficientes específicos para sapatas quadradas / retangulares e circulares:

COEFICIENTES DE FORMA: TEORIA DE TERZAGHI

Portanto, para sapata retangular, temos:

$S_{c} = 1,3$

$S_{q} = 1,0$

$S_{\gamma} = 0,8$

3º PASSO: Fatores de Capacidade de Carga

Os fatores de capacidade de carga $S_{c}$ , $S_{q}$ e $S_{\gamma}$ podem ser obtidos pelo gráfico abaixo ou através da utilização de fórmulas:

Fatores de Capacidade de Carga - Terzaghi — Fatores de Capacidade de Carga – Terzaghi

$a_{0} = e^{\pi \cdot \left ( 0,75 - \frac{\phi }{360} \right )\cdot tg\phi }$

$N_{q} = \frac{a_{0}^{2}}{2\cdot cos^{2}\left ( 45 + \frac{\phi }{2} \right )}$

$N_{c} = \frac{N_{q} - 1}{tg\phi }$

$N_{\gamma } \cong \frac{2\cdot \left ( N_{q} +1 \right )\cdot tg\phi }{1 + 0,4\cdot sen(4\cdot \phi )}$

Há outras equações disponíveis para o cálculo do fator $N_{\gamma }$ , que tornam seu uso mais prático em planilhas e softwares, em comparação com o gráfico apresentado. Dentre as equações frequentemente empregadas, destacam-se:

$N_{\gamma } = 2\cdot \left ( N_{q} -1\right )\cdot tg\left ( 1,4\cdot \phi \right ) \rightarrow$ Meyerhof, $\phi$ em graus.

$N_{\gamma } = 0,0663\cdot exp\left ( 9,3\cdot \phi \right ) \rightarrow$ Davis e Booker, $\phi$ em radianos (fundação lisa).

$N_{\gamma } = 0,1054\cdot exp\left ( 9,6\cdot \phi \right ) \rightarrow$ Davis e Booker, $\phi$ em radianos (fundação rugosa).

$N_{\gamma } = 0,477\cdot exp\left ( 6,52\cdot \phi \right ) \rightarrow$ Ueno, $\phi$ em radianos (fundação lisa).

Para valores de $\phi$ < 30° é possível utilizar quaisquer equações para $N_{\gamma }$ , para valores superiores a 30° as diferenças entre os diferentes métodos aumentam.

Portanto:

$a_{0} = e^{\pi \cdot \left ( 0,75 - \frac{\phi }{360} \right )\cdot tg\phi } = e^{\pi \cdot \left ( 0,75 - \frac{37 }{360} \right )\cdot tg37^{\circ} } \cong 4,63$

$N_{q} = \frac{a_{0}^{2}}{2\cdot cos^{2}\left ( 45 + \frac{\phi }{2} \right )} = \frac{4,63^{2}}{2\cdot cos^{2}\left ( 45 + \frac{37^{\circ } }{2} \right )} \cong 53,8$

$N_{c} = \frac{N_{q} - 1}{tg\phi } = \frac{53,8 - 1}{tg37^{\circ }} \cong 70,07$

$N_{\gamma } \cong \frac{2\cdot \left ( N_{q} +1 \right )\cdot tg\phi }{1 + 0,4\cdot sen(4\cdot \phi )} \cong \frac{2\cdot \left ( 53,8 +1 \right )\cdot tg37^{\circ } }{1 + 0,4\cdot sen(4\cdot 37^{\circ } )} \cong 68,14$

4º PASSO: Cálculo da capacidade de carga do solo (tensão última)

Conforme proposto por Terzaghi para a determinação da tensão última do solo:

Portanto:

$Q_{ult} = \underbrace{1,3 \cdot 4 \cdot 70,07}_{COES\tilde{A}O} +\underbrace{0,8 \cdot 1,8 \cdot \frac{1,0}{2}\cdot 68,14}_{ATRITO} + \underbrace{1\cdot 1,8 \cdot 1,5\cdot 53,8}_{SOBRECARGA} = \underbrace{364,36}_{COES\tilde{A}O} +\underbrace{49,06}_{ATRITO} + \underbrace{145,26}_{SOBRECARGA}$

$Q_{ult} = 558,68$ kPa = $5,69$ kg/cm²

5º PASSO: Cálculo da tensão admissível do solo (Método Terzaghi)

Após calcular a tensão última do solo, que representa o valor limite capaz de levar o solo à ruptura, determinaremos a tensão admissível, correspondente à tensão de trabalho a ser utilizada no dimensionamento da sapata:

$Q_{adm} = \frac{Q_{ult}}{F.S} = \frac{Q_{ult}}{3}$

Para fundações superficiais, o Fator de Segurança adotado para determinar a tensão admissível é igual a 3, portanto:

$Q_{adm} = \frac{5,69}{3} = 1,9$ kg/cm²

6º PASSO: Cálculo da carga máxima do pilar

Conhecida a tensão admissível do solo ( $Q_{adm} = 1,9$ kg/cm²) e a menor dimensão da sapata, é possível determinar a carga máxima suportada pela sapata ao se definir o seu comprimento:

Largura da sapata: B = 1,0 m = 100 cm (valor informado no cálculo da tensão última do solo)
Comprimento da sapata: L = 2,0 m = 200 cm

$\acute{A}rea = B\times L = 100 \times 200 = 20.000cm^{2}$

$Carga = 20.000 \times 1,9 = 38.000 kgf = 38 tf$

Conforme o método de Terzaghi para determinar a tensão admissível do solo e dimensionar a sapata, a carga máxima transmitida pelo pilar à sapata especificada no exemplo é de 38 tf.

INFLUÊNCIA DO LENÇOL FREÁTICO EM SAPATAS

A influência do lençol freático deve ser considerada em duas situações possíveis:

Nível d’água acima da base da fundação
Nível d’água abaixo da fundação em uma profundidade até B, que equivale ao diâmetro ou menor lado

Influência do nível d'água - Sapatas (fundação superficial) — Influência do nível d’água – Sapatas (fundação superficial)

Para o Caso 1, deve-se realizar as seguintes alterações na fórmula original:

calcular o termo $q = \gamma\cdot h$ como sendo $q = \gamma_{nat}\cdot a + \gamma_{sub}\cdot \left ( h-a \right )$ (Sobrecarga)
utilizar $\gamma_{sub}$ no termo $\gamma$ (Atrito)

Para o Caso 2, deve-se considerar:

utilizar $\gamma_{nat}$ em $q = \gamma\cdot h$ (Sobrecarga)
termo $\gamma$ , calcular como $\gamma = \gamma_{sub} + \frac{a^{'}}{B}\cdot \left ( \gamma_{nat} - \gamma_{sub} \right )$ (Atrito)

OUTROS MÉTODOS

Outro método bastante utilizado para a determinação da tensão admissível do solo e dimensionamento de sapata são os baseados no resultado do ensaio SPT. O site E stude Engenharia oferece ferramentas para determinar a tensão admissível a partir do SPT e dimensionamento geotécnico: