ISOSTÁTICA: EXERCÍCIO 5.9 - Estude Engenharia

Neste exercício, apresentado como EXEMPLO 5.9 no livro de ANÁLISE ESTRUTURAL do autor Aslam Kassimali, vamos analisar a viga isostática abaixo e traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante.

desenho de uma viga isostática, utilizada no exemplo de cálculo. — Viga isostática

Utilizaremos o método das seções para definir as equações que determinam os esforços em cada segmento da viga.

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO: EXERCÍCIO ISOSTÁTICA

1º PASSO: VERIFICAR GRAU HIPERESTÁTICO

Para que sejam determinadas as reações de apoio, devemos verificar o grau hiperestático da estrutura em questão. Sendo:

$r = 4 \rightarrow$ número de reações de apoio (HA, VA e VB)

$e = 4 \rightarrow$ número de equações de equilíbrio

$\sum F_{h} = 0$

$\sum F_{v} = 0$

$\sum M = 0$

$\sum M_{B} = 0 \rightarrow$ Rótula

Temos, portanto, que o número de incógnitas (reações de apoio) é igual ao número de reações de equilíbrio. A estrutura é ESTATICAMENTE DETERMINADA EXTERNAMENTE.
$i_{e} = r - e = 4 - 4 = 0 \rightarrow$ grau hiperestático

Além disso, podemos perceber que a estrutura é ESTATICAMENTE ESTÁVEL EXTERNAMENTE pois os apoios promovem reações capazes de dar estabilidade à estrutura.

2º PASSO: DETERMINAR AS REAÇÕES DE APOIO

desenho da viga isostática e as reações de apoio — Reações de apoio em viga isostática

Utilizaremos as três equações de equilíbrio para determinar as reações nos apoios:

$\sum F_{h} = 0$

$HA = 0$

Não há cargas horizontais, portanto, a reação horizontal no apoio é igual a zero.

$\sum F_{v} = 0$

$VA + VC - \left ( 20 \times 10 \right ) - 100 = 0$

$VA + VC = 300 kN$

Para definir o valor de VC, utilizaremos a condição de equilíbrio:
$\sum M_{B} = 0 \rightarrow$ Rótula

Utilizando as forças à direita da seção:

$\circlearrowleft^{+} \sum M _{B} = 0 \rightarrow$ Momento no ponto B

$-\left ( 20 \times 10 \right )\times 5 + VC \times 10 - 100\times 15 = 0$

$VC = \frac{2500}{10} = 250 kN$

Se $VA + VC = 300 kN$ , então:

$VA + 250 = 300 kN$

$VA = 50 kN$

Falta definir o valor da reação de momento em A. Faremos:

$\circlearrowleft^{+} \sum M _{A} = 0 \rightarrow$ Momento no ponto A

$MA -\left ( 20 \times 10 \right )\times 15 + 250 \times 20 - 100\times 25 = 0$

$MA = 500 kN.m$

3º PASSO: DETERMINAR OS ESFORÇOS SOLICITANTES

Para determinar os esforços solicitantes (cortante e momento) ao longo da viga, devemos analisar cada segmento separadamente. Os trechos são definidos sempre que há mudanças no carregamento, reações de apoio e rótulas.

SEÇÃO S1 (A – B): $0 \leq x \leq 10$

$V_{S1} = VA \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S1} = - 500 + VA \times x \rightarrow$ Eq. momento fletor

Note que o esforço cortante se mantém constante ao logo do trecho A-B pois a única carga vertical à esquerda da seção S1 é a reação de apoio em A.

$V_{S1} = + 50 kN$

Em A, o apoio de 3º gênero (engaste) apresenta reação de momento fletor igual a 500 kN.m. Ao final do trecho A-B há uma rótula e, por consequência, o momento fletor é igual a 0 (zero).

$M_{S1} = - 500 + VA \times x \begin{cases} -500 + 50 \times 0 = - 500 kN.m & \text{ se } x= 0 \\-500 + 50 \times 10 = 0 & \text{ se } x= 10\end{cases}$

SEÇÃO S2 (B – C): $10 \leq x \leq 20$

desenho mostra a seção analisada da viga isostática — Viga isostática: esforços internos

$V_{S2} = VA - 20 \times (x-10) \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S2} = - 500 + VA \times x - 20 \times (x - 10) \times \frac{x - 10}{2} \rightarrow$ Eq. momento fletor

Conforme a seção S3 avança, de B para C, o esforço cortante recebe a adição contínua de carga (carga distribuída). Dessa forma, a variação de carga entre B e C será linear.

$V_{S2} = VA - 20 \times (x-10) \begin{cases}V_{S2} = 50 - 20 \times (10-10) = 50 kN & \text{ se } x= 10 \\V_{S2} = 50 - 20 \times (20-10) = -150 kN & \text{ se } x= 20\end{cases}$

Por conta do carregamento uniformemente distribuído, a equação do momento fletor é uma equação de 2º grau. Portanto, no trecho B-C o gráfico se apresenta em forma de parábola.

$M_{S2} = \begin{cases}-500 + 50 \times 10 - 20 \times (10 - 10) \times \frac{10 - 10}{2} = 0 & \text{ se } x=10 \\-500 + 50 \times 20 - 20 \times (20 - 10) \times \frac{20 - 10}{2} = -500 kN.m & \text{ se } x=20\end{cases}$

SEÇÃO S3 (C – D): $20 \leq x \leq 25$

$V_{S3} = VA - (20 \times 10) + VC \rightarrow$ Eq. cortante

$M_{S3} = - 500 + VA \times x - (20 \times 10) \times \left [ x - (10 + 5) \right ] + 250 \times (x - 10 - 10) \rightarrow$ Eq. momento fletor

No ponto C, onde há um apoio e reação vertical igual a 250 kN, há uma descontinuidade no valor do esforço cortante. Ao final do trecho C-D, a cortante retorna a zero com a carga pontual.

$V_{S3} = 50 - (20 \times 10) + 250 = 100 kN$

Note que no trecho C-D não há mais a atuação de carga distribuída e a equação se torna de 1º grau. O gráfico, portanto, se comporta como tal.

$M_{S3} = \begin{cases}500 + 50 \times 20 - (20 \times 10) \times \left [ 20 - (10 + 5) \right ] + 250 \times (20 -10 -10) = -500kN.m & \text{ se } x= 20\\500 + 50 \times 25 - (20 \times 10) \times \left [ 25 - (10 + 5) \right ] + 250 \times (25 -10 -10) = 0 &\text{ se } x= 25\end{cases}$

4º PASSO: DESENHAR OS GRÁFICOS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR

ESFORÇO CORTANTE:

desenho mostra o gráfico de esforço cortante em viga isostática — Gráfico de esforço cortante em viga isostática

Para traçar o diagrama de esforço cortante basta ligar os pontos com os valores calculados anteriormente, devendo estar atento às descontinuidades provocadas por cargas pontuais e a forma como a carga distribuída se apresenta no gráfico.

Podemos, inclusive, calcular a distância onde a cortante tem valor igual a zero no trecho B-C através da sua equação:

$V_{S2} = VA - 20 \times (x-10) \rightarrow$ Eq. cortante

$0 = 50 - 20 \times (x-10)$

$0 = 50 - 20x + 200$

$x = \frac{250}{20} = 12,5 m$

A distância está em relação ao ponto A, portanto, o valor da cortante igual a zero está a 2,5m da rótula em B.

MOMENTO FLETOR:

desenho mostra o Gráfico de momento fletor em viga isostática — Gráfico de momento fletor em viga isostática

Como já calculamos os valores do momento fletor atuante em diferentes seções da viga, basta ligar os pontos e estar atento à forma como o gráfico se comporta.

O máximo valor positivo pode ser encontrado a partir da equação do momento fletor do trecho B-C utilizando o valor de x no qual cortante é igual a zero (onde a cortante cruza o eixo y, o momento fletor é máximo).

$M_{S2} = - 500 + VA \times x - 20 \times (x - 10) \times \frac{x - 10}{2} \rightarrow$ Eq. momento fletor

Para x = 12,5m:

$M_{S2} = - 500 + 50 \times 12,5 - 20 \times (12,5 - 10) \times \frac{12,5 - 10}{2} = 62,5 kN.m$

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

O exercício de viga isostática apresentado foi extraído do livro: