ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO: CARGA RETANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA

Explicamos em postagem anterior como calcular o acréscimo de tensões gerado por uma sapata retangular em determinada profundidade Z a partir dos seus vértices, no entanto, é possível utilizar alguns artifícios para utilizar a solução de Newmark e calcular o acréscimo de tensões em diferentes pontos do solo.

Para relembrar, o cálculo do acréscimo de tensão a uma profundidade Z a partir de um dos vértices de uma sapata, por exemplo, é realizado pelas seguintes equações:

$\Delta \sigma_{z} = q_{s}\times I_{z}$

$I_{z} = \frac{1}{4\pi } \left [ \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} + m^{2}n^{2} + 1} \left ( \frac{m^{2} + n^{2}+2}{m^{2} + n^{2}+1} \right ) + tg^{-1} \left ( \frac{2mn\sqrt{m^{2} + n^{2} + 1}}{m^{2} + n^{2} - m^{2}n^{2} + 1} \right ) \right ]$

Sendo:

$m = \frac{B}{z}\to B = largura$

$n = \frac{A}{z}\to A = comprimento$

No entanto, é possível utilizar alguns artifícios para calcular a o acréscimo de tensão em diferentes pontos abaixo da fundação.

1 – Ponto abaixo da área de projeção da sapata:
Note que em qualquer ponto de análise abaixo da área de projeção da sapata formam-se outros retângulos (ou quadrados). Podemos, então, calcular o acréscimo de tensões abaixo do vértice para cada forma geométrica e somar os resultados obtidos:

$\Delta \sigma_{z} = q_{s}\times I_{z_{A1}} + q_{s}\times I_{z_{A2}} + q_{s}\times I_{z_{A3}} + q_{s}\times I_{z_{A4}}$

Ou, semplesmente:

$\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )$

2 – Ponto fora da área de projeção da sapata:
Segue o mesmo princípio do ítem anterior, no entanto, devemos subtrair o acréscimo de tensões gerado pelas áreas fictícias (AF1 e AF2) que vai além da projeção da sapata:

Sendo:
A1 = 250 x 50
A2 = 250 x 50
AF1 = 50 x 50
AF2 = 50 x 50

$\Delta \sigma_{z} = q_{s}\times I_{z_{A1}} + q_{s}\times I_{z_{A2}} - q_{s}\times I_{z_{AF1}} - q_{s}\times I_{z_{AF2}}$

Ou, simplesmente:

$\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} - I_{z_{AF1}} - I_{z_{AF2}} \right )$

EXEMPLO

Vamos calcular o acréscimo de tensões gerado ao centro da sapata em uma profundidade Z = 200cm. Considerar a tensão atuante na interface fundação-solo de $q_{s} = 2kg/cm^{2}$ .

Primeiramente, devemos calcular os valores de m e n:

$m = \frac{B}{z} = \frac{50}{200} = 0,25$

$n = \frac{A}{z} = \frac{100}{200} = 0,5$

Utilizaremos a tabela a seguir para encontrar os valores de $I_{z}$ .
Note que $I_{z_{A1}} = I_{z_{A2}} = I_{z_{A3}} = I_{z_{A4}}$

Como a tabela não fornece o valor exato de n = 0,25, podemos interpolar os valores de n = 0,2 e n = 0,3 (que se relacionam com o valor m = 0,5). Portanto:

$I_{z} = \frac{0,0387 + 0,0559}{2} = 0,0473$

Calculando o acréscimo de tensão:

$\Delta \sigma_{z} = q_{s} \times \left ( I_{z_{A1}} + I_{z_{A2}} + I_{z_{A3}} + I_{z_{A4}} \right )$

$\Delta \sigma_{z} = 2 \times \left ( 0,0473 + 0,0473 + 0,0473 + 0,0473 \right )$

$\Delta \sigma_{z} = 2 \times 0,1892 = 0,3784 kg/cm^{2}$

Note que a tensão ao centro da projeção da sapata é maior que o valor obtido no exemplo numérico onde calculamos, para a mesma profundidade, o acréscimo de tensão no abaixo do vértice da fundação.

CONCLUSÃO

Foi demonstrado no exemplo deste artigo que é possível lançar mão de artifícios para extrapolar o uso das equações propostas por Newmark para o acréscimo de tensões no solo a partir de carga retangular uniformemente distribuída. Conhecer essa possibilidade pode ser útil para realizar verificações e até mesmo traçar o bulbo de tensões do solo.

ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO: CARGA RETANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA – PARTE 2

EXEMPLO

CONCLUSÃO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Mecânica dos Solos – Obras de Terra e Fundações

Fundações e Estruturas de Contenção

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