LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

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PLANILHA PARA DIMENSIONAMENTO DE LAJE TRELIÇADA

O sistema construtivo de lajes treliçadas, que utiliza vigotas pré-moldadas com armação em formato de treliça e algum elemento de enchimento (EPS, bloco cerâmico…) para reduzir o consumo de concreto onde o mesmo não trabalha, é o mais utilizado no Brasil em obras residenciais. Por isso, faremos uma série de posts para demonstrar todo o procedimento de cálculo e verificações que se fazem necessárias.

LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 1
LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 2
LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 3
LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 4

INFORMAÇÕES DE CÁLCULO

Primeiramente, vamos definir as informações necessárias para todo o procedimento de cálculo. Serão adotados os seguintes valores:

COMPRIMENTO / VÃO DA LAJE: 400 cm

BASE DA VIGOTA: 12 cm

TIPO DE ENCHIMENTO: EPS (H12/40)

TRELIÇA: TR 12646

ESPESSURA DE CAPA: 5 cm

ARMADURA ADICIONAL: 1 Φ 8 mm

CONCRETO: 25 MPa
CARGA PERMANENTE: 100 kg/m² (Contrapiso + revestimento)
CARGA ACIDENTAL: 150 kg/m²

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

ALTURA ÚTIL – d (cm)

Entende-se como altura útil a distância entre o centro de gravidade das armaduras longitudinais tracionadas e a fibra mais comprimida do concreto.

$A_{s} = 0,566 cm^{2} \rightarrow$ Área de aço da treliça, 2 Φ 6 mm

$A_{s,adc } = 0,502 cm^{2} \rightarrow$ Área de aço da adicional, 1 Φ 8 mm

Considerando o cobrimento c = 1,5 cm e a presença de uma armadura adicional Φ 8 mm (diâmetro diferente dos fios inferiores da treliça), podemos calcular d’ como:

$d' = \frac{2\times A_{s}\times y_{cg1} + A_{s,adc}\times y_{cg2} }{A_{s} + A_{s,adc}}$

Portanto: $d' = \frac{2\times 0,283\times \left ( 1,5 + \frac{0,6}{2} \right ) + 0,502\times \left ( 1,5 + \frac{0,8}{2}\right ) }{0,566 + 0,502} = 1,847 cm$

A altura da laje treliçada é igual a 17 cm ( $\beta 17$ ), pois: $h = He + C = 12cm + 5cm = 17cm$

Temos que a altura útil (d) é, portanto:

$d = h - d' = 17 - 1,847 \cong 15,153cm$

PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA – LN

Para a verificação da profundidade da Linha Neutra – LN, utiliza-se a fórmula a seguir:

$x = \frac{0,68\cdot d \pm \sqrt{\left ( 0,68d \right )^{2} - 4\cdot 0,272\left ( \frac{M_{d}}{b_{w\cdot f_{cd}}} \right )}}{0,544}$

E importante destacar que, em lajes nervuradas, é uma boa prática trabalhar com a Linha Neutra dentro da espessura da capa, apesar de ser possível trabalhar com parte da alma (bw) ajudando nas solicitações de compressão da seção.

$M_{d} = M_{k} \times 1,4 = 4,23 \times 1,4 = 5,922 kN.m \rightarrow$ Momento atuante de cálculo

Portanto:

$x = \frac{0,68\cdot 0,15153 \pm \sqrt{\left ( 0,68\cdot 0,15153 \right )^{2} - 4\cdot 0,272\left ( \frac{5,922}{0,49\cdot \frac{25\cdot 10^{3}}{1,4}} \right )}}{0,544}$

$x = \frac{0,1030 \pm 0,0994}{0,544}$

$x_{1} = \frac{0,1030 + 0,0994}{0,544} = 0,3720 m = 37,2 cm \rightarrow$ LN fora da seção (incorreto)

$x_{2} = \frac{0,1030 - 0,0994}{0,544} = 0,0066 m = 0,66 cm$

A profundidade da Linha Neutra é $x = 0,66 cm$

$\frac{x}{d} = \frac{0,66}{15,153} = 0,0435 \rightarrow$ Domínio 2

ÁREA DE AÇO (ELU) – As

Primeiramente, calcula-se o braço de alavanca (z), dado por:

$z = d - 0,4\cdot x = 15,153 - 0,4 \cdot 0,66 = 14,889 cm$

Agora, podemos calcular a área de aço:

$A_{s} = \frac{M_{d}}{z\cdot f_{yd}}$ , sendo $f_{yd} = \frac{f_{yk}}{1,15}$

Para o aço CA-60, temos que $f_{yk} = 600 MPa = 60 kN/cm^{2}$

$A_{s} = \frac{5,922 kN.m}{0,14889 m\cdot \frac{60kN/cm^{2}}{1,15}} = 0,762 cm^{2}$

Temos que, para atender ao Estado Limite Último – ELU, é necessária uma área de aço $A_{s} = 0,762 cm^{2}$ . Considerando a armadura da treliça TR 12646 (2 Φ 6 mm) com área de aço $A_{s} = 0,566 cm^{2}$ mais a armadura adicional (1 Φ 8 mm) $A_{s,adc } = 0,502 cm^{2}$ , temos uma área de aço total de:

$A_{s,tot} = 0,566 + 0,502 = 1,068 cm^{2}$

Portanto, está garantida uma área de aço adotada maior (ou igual) que a área de aço calculada. $A_{s,tot} \geq A_{s}$

VERIFICAÇÃO AO CISALHAMENTO

Para prescindir o uso de armadura transversal para resistir aos esforços de tração devido à força cortante, é necessário que a força solicitante de cálculo seja menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento:

$V_{Sd} \leq V_{Rd1} = \left [ \tau_{Rd} \cdot k \cdot (1,2 + 40\cdot \rho_{1}) \right ] \cdot b_{w}\cdot d$

Onde:

$\tau_{Rd} = 0,25 \cdot f_{ctd} = 0,25 \cdot \frac{f_{ctk,inf}}{\gamma _{c}} \rightarrow$ Tensão resistente de cálculo ao cisalhamento

$f_{ctk,inf} = 0,7 \cdot f_{ct,m}$ , sendo $f_{ct,m} = 0,3 \cdot f_{ck} ^{2/3}$

$\rho_{1}= \frac{A_{s1}}{b_{w}\cdot d} \leq 0,02$

$k = \left | 1,6 - d \right | \rightarrow$ d em metros

Além disso, é preciso verificar a compressão diagonal do concreto (bielas comprimidas):

$V_{Sd} \leq V_{Rd2} = 0,27 \cdot \alpha_{v2} \cdot f_{cd}\cdot b_{w}\cdot d$

Sendo:

$\alpha_{v2} = 1 - \frac{f_{ck}}{250} \rightarrow$ $f_{ck}$ em MPa

Como calculado no post anterior, temos que a força cortante por nervura (valor característico) é $V_{k} = 4,23 kN$

O esforço cortante de cálculo é, portanto: $V_{d} = V_{k} \cdot 1,4 = 4,23 \cdot 1,4 = 5,922 kN$

CÁLCULOS:

$f_{ct,m} = 0,3 \cdot f_{ck} ^{2/3} = 0,3 \cdot 25^{2/3} = 2,654 MPa$

$f_{ctk,inf} = 0,7 \cdot 2,654 = 1,795MPa$

$\tau_{Rd} = 0,25 \cdot \frac{1,795}{1,4} = 0,32 MPa = 320 KPa$

$\rho_{1}= \frac{1,068}{9\cdot 15,153} = 0,0078 \leq 0,02$

$k = \left | 1,6 - 0,15153 \right | = 1,448$

Portanto:

$V_{Rd1} = \left [ \tau_{Rd} \cdot k \cdot (1,2 + 40\cdot \rho_{1}) \right ] \cdot b_{w}\cdot d$

$V_{Rd1} = \left [ 320 \cdot 1,448 \cdot (1,2 + 40\cdot 0,0078) \right ] \cdot 0,09 \cdot 0,15153 \cong 9,5 kN$

Verificamos que $V_{Sd} \left ( 5,922 kN \right ) \leq V_{Rd1} \left ( 9,5 kN \right )$ , é dispensável o uso de armadura contra o cisalhamento.

Verificando a biela de compressão:

$\alpha_{v2} = 1 - \frac{f_{ck}}{250} = 1 - \frac{25}{250} = 0,9$

$V_{Rd2} = 0,27 \cdot \alpha_{v2} \cdot f_{cd}\cdot b_{w}\cdot d$

$V_{Rd2} = 0,27 \cdot 0,9 \cdot \frac{25\cdot 10^{3}KPa}{1,4}\cdot 0,09\cdot 0,15153 = 59,17 kN$

CONCLUSÃO

Determinamos nesta segunda parte a área de aço necessária para o atendimento ao Estado Limite Último – ELU e verificamos as nervuras quanto aos esforços de cisalhamento, não sendo necessária armadura para combater esses esforços. A seguir, faremos a verificação das deformações no Estado Limite de Serviço – ELS, considerando a fissuração e fluência do concreto. Acompanhe todo o procedimento de cálculo nos próximos posts!

LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 2

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