LAJE TRELIÇADA: PROCEDIMENTO DE CÁLCULO – PARTE 3

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O sistema construtivo de lajes treliçadas, que utiliza vigotas pré-moldadas com armação em formato de treliça e algum elemento de enchimento (EPS, bloco cerâmico…) para reduzir o consumo de concreto onde o mesmo não trabalha, é o mais utilizado no Brasil em obras residenciais. Por isso, faremos uma série de posts para demonstrar todo o procedimento de cálculo e verificações que se fazem necessárias.

INFORMAÇÕES DE CÁLCULO

Primeiramente, vamos definir as informações necessárias para todo o procedimento de cálculo. Serão adotados os seguintes valores:

  • COMPRIMENTO / VÃO DA LAJE: 400 cm

  • BASE DA VIGOTA: 12 cm
  • TIPO DE ENCHIMENTO: EPS (H12/40)
  • TRELIÇA: TR 12646
  • ESPESSURA DE CAPA: 5 cm
  • ARMADURA ADICIONAL: 1 Φ 8 mm
  • CONCRETO: 25 MPa
  • CARGA PERMANENTE: 100 kg/m² (Contrapiso + revestimento)
  • CARGA ACIDENTAL: 150 kg/m²

PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL NO ESTÁDIO I

  • ÁREA DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA (CONSIDERA A PRESENÇA DA ARMADURA)

 A_{h} = \left ( b_{f} - b_{w} \right ) \cdot h_{f} + \left ( b_{w}\cdot h \right ) + \left [ A_{s} \cdot \left ( \alpha_{e} - 1 \right ) \right ]

Sendo:  \alpha_{e} = \frac{E_{s}}{E_{cs}} = \frac{210000}{24000} = 8,75

 E_{s} \rightarrow Módulo de elasticidade do aço, admitido 210.000 MPa

 E_{cs} \rightarrow Módulo de elasticidade do concreto, admitido 24.000 MPa para concreto de 25 MPa

Portanto:

 A_{h} = \left ( 49 - 9 \right ) \cdot 5 + \left ( 9\cdot 17 \right ) + \left [ 1,068 \cdot \left ( 8,75 - 1 \right ) \right ] = 361,277 cm^{2}

  • CENTRO DE GRAVIDADE

 Y_{h} = \frac{\left ( b_{f} - b_{w}\right ) \cdot \left ( \frac{h_{f}^{2}}{2} \right ) + b_{w}\cdot \frac{h^{2}}{2} + A_{s}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right )\cdot d }{A_{h}}

 Y_{h} = \frac{\left ( 49 - 9\right ) \cdot \left ( \frac{5^{2}}{2} \right ) + 9\cdot \frac{17^{2}}{2} + 1,068\cdot \left ( 8,75 -1 \right )\cdot 15,153 }{361,27} = \frac{1925,92}{361,277} = 5,33cm

  • MOMENTO DE INÉRCIA À FLEXÃO

 I_{Ig} = \frac{\left ( b_{f} - b_{w}\right )\cdot h_{f}^{3} }{12} + \frac{b_{w}\cdot h^{3}}{12} + \left ( b_{f} - b_{w} \right )\cdot h_{f}\cdot \left ( y_{h} -\frac{h_{f}}{2} \right )^{2} + b_{w}\cdot h\cdot \left ( y_{h} - \frac{h}{2} \right )^{2}+ A_{s}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right )\cdot\left (y_{h}- d \right )^{2}

 I_{Ig} = \frac{\left (49 - 9\right )\cdot 5^{3} }{12} + \frac{9\cdot 17^{3}}{12} + \left ( 49 - 9 \right )\cdot 5\cdot \left ( 5,33 -\frac{5}{2} \right )^{2} + 9\cdot 17\cdot \left ( 5,33 - \frac{17}{2} \right )^{2}+ 1,068\cdot \left ( 8,75 -1 \right )\cdot\left (5,33- 15,153 \right )^{2}

 I_{Ig} = \frac{\left (49 - 9\right )\cdot 5^{3} }{12} + \frac{9\cdot 17^{3}}{12} + \left ( 49 - 9 \right )\cdot 5\cdot \left ( 5,33 -\frac{5}{2} \right )^{2} + 9\cdot 17\cdot \left ( 5,33 - \frac{17}{2} \right )^{2}+ 1,068\cdot \left ( 8,75 -1 \right )\cdot\left (5,33- 15,153 \right )^{2} = 8039,337cm^{4}

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL NO ESTÁDIO II PURO

  • PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA (X):

Para o cálculo do momento de inércia no estádio II puro, é necessário conhecer a posição da Linha Neutra  X_{II}. Em casos de vigas com seção em forma de “T”, pode ser calculada por:

 a_{1} \cdot X_{II}^{2} + a_{2}\cdot X_{II} + a_{3} = 0

Sendo resolvido por:

 X_{II} = \frac{-a_{2} \pm \sqrt{a_{2} -4\cdot a_{1}\cdot a_{3}}}{2\cdot a_{1}}

Com os coeficientes:

 a_{1} = \frac{b_{w}}{2}

 a_{2} = h_{f}\cdot \left ( b_{f} - b_{w} \right ) + A_{s}^{'}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right ) + \alpha_{e} \cdot A_{s}

 a_{3} = - d^{'}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right )\cdot A_{s}^{'} - d\cdot \alpha_{e} \cdot A_{s} - \frac{h_{f}^{2}}{2}\cdot \left ( b_{f} - b_{w} \right )

Não havendo armadura de compressão,  A_{s}^{'} = 0. Além disso, admite-se inicialmente que a linha neutra passe pela mesa, de modo que  b_{w} = b_{f} . Portanto:

 a_{1} = \frac{b_{w}}{2} = \frac{49}{2} = 24,5

 a_{2} = h_{f}\cdot \left ( b_{f} - b_{w} \right ) + A_{s}^{'}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right ) + \alpha_{e} \cdot A_{s}

 a_{2} = 5\cdot \left ( 49 - 49 \right ) + 0\cdot \left ( 8,75 -1 \right ) + 8,75 \cdot 1,068 = 9,345

 a_{3} = - d^{'}\cdot \left ( \alpha_{e} -1 \right )\cdot A_{s}^{'} - d\cdot \alpha_{e} \cdot A_{s} - \frac{h_{f}^{2}}{2}\cdot \left ( b_{f} - b_{w} \right )

 a_{3} = - 0\cdot \left ( 8,75 -1 \right )\cdot 0 - 15,153\cdot 8,75 \cdot 1,068 - \frac{5^{2}}{2}\cdot \left ( 49 - 49 \right ) = -141,60

Resolvendo  X_{II} = \frac{-a_{2} \pm \sqrt{a_{2} -4\cdot a_{1}\cdot a_{3}}}{2\cdot a_{1}}

 X_{II} = \frac{-9,345 \pm \sqrt{9,345^{2} -4\cdot 24,5\cdot \left ( -141,60 \right )}}{2\cdot 24,5} = \frac{-9,345 \pm 118,172}{49}

 X_{II_{1}} = \frac{-9,345 + 118,172}{49} = 2,22cm

 X_{II_{2}} = \frac{-9,345 - 118,172}{49} = -2,6cm \rightarrow Linha Neutra fora da seção, errado.

Portanto, temos que a profundidade da Linha Neutra no estádio II é  X_{II_{1}} = 2,22cm (A consideração inicial de que a Linha Neutra passa pela mesa está correta).

  • MOMENTO DE INÉRCIA:

 I_{x,II_{0}} = \frac{b_{f}\cdot X_{II}^{3}}{3} + \alpha_{e} \cdot A_{s} \cdot \left ( X_{II} - d \right )^{2}

 I_{x,II_{0}} = \frac{50\cdot 2,22^{3}}{3} + 8,75 \cdot 1,068 \cdot \left ( 2,22 - 15,153 \right )^{2} = 1745,418cm^{4}

CÁLCULO DA FLECHA

O cálculo da flecha imediata, para as diversas combinações, pode ser feito por:

 a = \frac{5\cdot p\cdot l^{4}}{384\cdot E_{cs}\cdot I_{m}}

Sendo  I_{m}} a inércia média de Branson, dada por:

 I_{m} = \left ( \frac{M_{r}}{M_{at}} \right )^{3}\cdot I_{Ig} + \left [ 1-\left ( \frac{M_{r}}{M_{at}} \right )^{3} \right ]\cdot I_{x,II_{0}}

Para calcular a inércia média pela fórmula de Branson, precisamos definir o Momento de Fissuração  M_{r} que, para seções “T”:

 M_{r} = \frac{\alpha \cdot f_{ct,m}\cdot I_{Ig}}{Y_{t}}

 \alpha \rightarrow 1,2 para seções “T”

 f_{ct,m} = 0,3\cdot f_{ck}^{2/3}

O Momento Atuante  M_{at} será calculado como viga bi-apoiada:

 M_{at} = \frac{p\cdot l^{2}}{8}

Temos que, para a combinação Quase-Permanente, o carregamento por nervura P é dado por:

 F_{d,serv} = \sum F_{gi,k} + \sum \psi_{2j}\cdot F_{qj,k}

  \sum F_{gi,k} \rightarrow Somatório das cargas permanentes

  \sum F_{qj,k} \rightarrow Somatório das cargas acidentais

  \psi_{2j} \rightarrow Fator de redução de combinação quase permanente para o Estado Limite de Serviço – ELS

Será admitido o valor de   \psi_{2j} =0,3 , dado pela norma para:

Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas, como é o caso de edifícios residenciais.

Tab. 11.2 ABNT NBR 6118:2014
  • CARREGAMENTO DE SERVIÇO (POR NERVURA):

Portanto:  F_{d,serv} = \left [ \left ( 181,86 + 100 \right ) + \left ( 0,3 \cdot 150 \right ) \right ]\cdot 0,49m = 160,16 kg/m

  • MOMENTO ATUANTE (POR NERVURA):

O Momento Atuante é:  M_{at} = \frac{p\cdot l^{2}}{8} = \frac{160,16\cdot 4^{2}}{8} = 320,32 kgf.m

  • MOMENTO DE FISSURAÇÃO (POR NERVURA):

Para o Momento de Fissuração, calculamos primeiro  f_{ct,m} = 0,3\cdot f_{ck}^{2/3} = 0,3\cdot 25^{2/3} = 2,565 MPa

 M_{r} = \frac{\alpha \cdot f_{ct,m}\cdot I_{Ig}}{Y_{t}} = \frac{1,2 \cdot 2,565\cdot 8,039\cdot 10^{-5}m^{4}}{0,1167} = 0,0021203 MN.m = 212,03 kgf.m

  • CÁLCULO DA INÉRCIA MÉDIA (FÓRMULA DE BRANSON):

Temos, portanto, que a Inércia Média cálculada pela fórmula de Branson é:

 I_{m} = \left ( \frac{M_{r}}{M_{at}} \right )^{3}\cdot I_{Ig} + \left [ 1-\left ( \frac{M_{r}}{M_{at}} \right )^{3} \right ]\cdot I_{x,II_{0}}

 I_{m} = \left ( \frac{212,03}{320,32} \right )^{3}\cdot 8039,337 + \left [ 1-\left ( \frac{212,03}{320,32} \right )^{3} \right ]\cdot 1745,418 = 3570,83 cm^{4}

 I_{m} =  3,57\cdot 10^{-5}m^{4}

  • CÁLCULO DA FLECHA IMEDIATA:

Com todos os dados já obtidos, é hora de calcular a flecha imediata:

 a = \frac{5\cdot p\cdot l^{4}}{384\cdot E_{cs}\cdot I_{m}}

 a = \frac{5\cdot 1,6016kN\cdot 4^{4}}{384\cdot 24\cdot 10^{6}\cdot 3,57\cdot 10^{-5}} = 0,0062m = 0,62cm

CONCLUSÃO

Determinamos nesta terceira parte a flecha imediata na condição de serviço, considerando a fissuração do concreto e a presença da armadura definida. A seguir, faremos a consideração do efeito da fluência do concreto nas deformações para analisar se atende ou não ao Estado Limite de Serviço – ELS (deformações excessivas) . Acompanhe todo o procedimento de cálculo no próximo posts!

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado

MANUAL TÉCNICO DE LAJES TRELIÇADAS (ArcelorMittal)

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